不一不二
[新手]
面积问题
15分
回答：2 浏览：91 提问时间：2008-07-06 08:45
三角形面积问题
在ΔABC中，∠B=60°，内切圆切边CA于E，且CE=9，AE=7，求此三角形面积。
在ΔABC中，∠B=60°，内切圆切边CA于E，且CE=9，AE=7，求此三角形面积。
2008-07-06 08:46 提高悬赏15分
最佳答案
在ΔABC中，∠B=60°，内切圆切边CA于E，且CE=9，AE=7，求此三角形面积。
类似的问题已提问过，我的解答见:http://iask.sina.com.cn/b/13118846.html
解 下面我们给出一个更一般结论:
在ΔABC中，己知∠B=t，ΔABC内切圆切边CA于E，且CE=p，AE=q。
求证:ΔABC的面积S=pq*sint/(1-cost)。 (1)
简证如下:设ΔABC的内切圆切BC于D，切AB于F，记BD=BF=x。则有
S=[(x+p)*(x+q)sint]/2
由余弦定理得:
(p+q)^2=(x+p)^2+(x+q)^2-2(x+p)*(x+q)*cost
<==> (x+p)*(x+q)*cost=x^2+x(p+q)-pq=(x+p)*(x+q)-2pq
<==> (x+p)*(x+q)=2pq/(1-cost)
因此 S= pq*sint/(1-cost)。
在(1)中，取t=60°，p=9，q=7代入计算得，所以ΔABC面积63√3。
类似的问题已提问过，我的解答见:http://iask.sina.com.cn/b/13118846.html
解 下面我们给出一个更一般结论:
在ΔABC中，己知∠B=t，ΔABC内切圆切边CA于E，且CE=p，AE=q。
求证:ΔABC的面积S=pq*sint/(1-cost)。 (1)
简证如下:设ΔABC的内切圆切BC于D，切AB于F，记BD=BF=x。则有
S=[(x+p)*(x+q)sint]/2
由余弦定理得:
(p+q)^2=(x+p)^2+(x+q)^2-2(x+p)*(x+q)*cost
<==> (x+p)*(x+q)*cost=x^2+x(p+q)-pq=(x+p)*(x+q)-2pq
<==> (x+p)*(x+q)=2pq/(1-cost)
因此 S= pq*sint/(1-cost)。
在(1)中，取t=60°，p=9，q=7代入计算得，所以ΔABC面积63√3。
回答：2008-07-06 12:24
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解：设内切圆分别切BC、AB于F、G，圆心为D，连接DB,DA,DC
则BD平分∠B，∠CBD=∠ABD=30°，
RtΔBFD与RtΔGBD中，∠BFD=∠BGD=90°,∠CBD=∠ABD=30°,BD
=BD,所以RtΔBFD全等于RtΔGBD
同理，有RtΔCFD全等于RtΔCED，RtΔAED全等于RtΔAGD
所以CF=CE=9,AG=AE=7
设内切圆半径为r,则DF=DG=DE=r
BF=BG=√3r，BD=2r
SΔABC=(9+7+√3r)*2r/2=(16+√3r)r
由∠A+∠B+∠C=180°，DA、DB、DC分别平分∠A、∠B、∠C
所以∠ECD+∠EAD=90°-30°=60°
所以RtΔECD、RtΔEAD中，CE=9=r*cot∠ECD,AE=7=r*cot∠EAD
tan∠ECD=r/9,tan∠EAD=r/7,tan(∠ECD+∠EAD)=(r/9+r/7)/(1-r^2/63)=√3,化简解得r=(-2+√253)/√3
SΔABC=(16-2+√253)(-2+√253)/√3=√3(75+4√253)
则BD平分∠B，∠CBD=∠ABD=30°，
RtΔBFD与RtΔGBD中，∠BFD=∠BGD=90°,∠CBD=∠ABD=30°,BD
=BD,所以RtΔBFD全等于RtΔGBD
同理，有RtΔCFD全等于RtΔCED，RtΔAED全等于RtΔAGD
所以CF=CE=9,AG=AE=7
设内切圆半径为r,则DF=DG=DE=r
BF=BG=√3r，BD=2r
SΔABC=(9+7+√3r)*2r/2=(16+√3r)r
由∠A+∠B+∠C=180°，DA、DB、DC分别平分∠A、∠B、∠C
所以∠ECD+∠EAD=90°-30°=60°
所以RtΔECD、RtΔEAD中，CE=9=r*cot∠ECD,AE=7=r*cot∠EAD
tan∠ECD=r/9,tan∠EAD=r/7,tan(∠ECD+∠EAD)=(r/9+r/7)/(1-r^2/63)=√3,化简解得r=(-2+√253)/√3
SΔABC=(16-2+√253)(-2+√253)/√3=√3(75+4√253)
回答：2008-07-06 09:37
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